Polinômio Interpolador de Lagrange

Sejam x₀, x₁,..., x_n,(n + 1) pontos distintos e y₁ = f (x_i), i = 0,1,... , n.

Seja P_n (x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em x₀,x₁,... ,x_n. Podemos representar o polinômio P_n(x) como:

onde os polinômios L_k (x) são de grau n. Para cada i queremos que a condição P_n (x_i) = y_i seja satisfeita:

Para que essa condição seja satisfeita é necessário impor que:

Podemos, assim, definir L_k (x) como:

Polinômio de Lagrange de Grau 1

onde:

Logo:

Polinômio de Lagrange de Grau 2

onde:

Logo:

Polinômio de Lagrange de Grau 3

Polinômio de Lagrange de Grau n

Exemplo Teórico: Encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que interpole:

Temos que n = 1. Então podemos dizer que será uma interpolação linear. Pela forma de Lagrange, temos que o polinômio interpolador será:

Que é exatamente a equação da reta que passa pelos pontos:

Exemplo Numérico: Considere a tabela abaixo. Encontre o polinômio Interpolador pela forma de Lagrange:

Pela forma de Lagrange temos que:

Substituindo os valores da tabela, obtemos:

  

Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/polinomio-interpolador-de-lagrange.html